EKONOMI TURIZËM - Matematik eZbatuar - PROGRAMIMI LINEAR

PUNIM SHKENCOR

Emri:---------------

FAKULTETI I EKONOMI- TURIZMIT

Dega:EKONOMI-TURIZËM

Viti:II

Lënda:Matematik eZbatuar

Pedagogu:MSc. --------------------

                                                                  

Tema: PROGRAMIMI LINEAR

Programimi Linear Probleme praktike siç janë: a) Problemi i dietës, b) Problemi i prodhimit, c) Problemi i investimeve, d) Problemi i caktimit të punëve, dhe e) Problemi i transportit mund të shtrohen si probleme të programimit linear të cilat pastaj zgjidhen duke zbatuar metodat ose algoritmet përkatëse në mënyrë që të gjejmë zgjidhjen optimale (minimunim apo maksimumin). Veqoritë e përbashkëta të problemeve të programimit linear janë: 1. Kërkohet të minimizohet ose maksimizohet funksioni i qëllimit që është funksion linear i të panjohurave, 2. Të panjohurat plotësojnë një sistem kushtesh që përbëhet nga ekuacione ose inekuacione lineare ose nga të dyja së bashku, 3. Të panjohurit kërkohet të jenë jo-negativ . a) Problemi i dietës Një dietë ditore i përmban 3 lloje ushqimesh (Ui) dhe secila nga këto ushqime përmban 3 lloje vitaminash (A,B,C) të domosdoshme në sasi të caktuara për tu marrë nga pacientët (ose punëtorët e fabrikës). Ky shembull jepet në tabelë Ushqimet Kërkesat minimale U1 U2 U3 për vitamina Vitaminat A a11 a12 a13 b1 B a21 a22 a23 b2 C a31 a32 a33 b3 Çmimi c1 c2 c3 a11 - sasia e vitaminës A që përmban një njësi e ushqimit U1, b2 - sasia minimale e vitaminës B, e caktuar nga mjeku që duhet ta përmbajë dieta ditore, c3 – çmimi i kushtimit të një njësie ushqimi U3 (psh. 1kg). Problemi i dhënë pra nënkupton se në çfarë sasie duhet përfshirë në dietën ditore secilin nga ushqimet Ui që të plotësohen kërkesat minimale me vitamina, të personave që ushqehen dhe kostoja e kësaj diete të jetë sa më e ultë.

Zgjidhja e problemit të programimit linear me Algoritmin Simpleks Trajta standarde e problemit të programimit linear Para se të fillohet me zgjidhjen e problemit ai duhet të sillet në trajtën standarde si më poshtë: Çdo problem i programimit linear kthehet në trajtë standarde. Kjo trajtë përbëhet nga sistem ekuacionesh dhe për funksion të qëllimit kërkohet vlera më e vogël. Në qoftë se në funksion të qëllimit f kërkohet vlera më e madhe atëherë në vend të tij vendoset si funksion qëllimi f’= - f dhe për të kërkohet vlera më e vogël. Në qoftë se sistemi përmban inekuacione ato mund të kthehen në ekuacione duke i shtuar të panjohurat shtesë. Shembulli 3 f X1 5 X 2 (m in ) X1 X2 4 2X1 X2 1 X1 X2 2 X 1, X 2 0 Kthehet në trajtë standarde si më poshtë: f X1 5 X 2 (m in ) X1 X2 X3 4 2X1 X2 X4 1 X1 X2 X5 2 X 1 ,.., X 5 0 Trajta Kanonike – quhen të panjohurat e lira - quhen terma të lira

PROBLEMI I PROGRAMIMIT LINEAR

Veprimtaria e përditshme e bizneseve është e mbushur me situata të ndryshme të cilat duhen menaxhuar në një mënyrë sa më racionale. Mjedisi ku zhvillon veprimtaritë një njësi ekonomike ndryshon në mënyrë të vazhdueshme dhe para drejtuesve të njësisë lindin vazhdimisht probleme që duhen zgjidhur, shtrohen alternativa të ndryshme prej të cilave duhen veçuar ato më të mirat, në fund të fundit duhen marrë vendime prej të cilave varet e ardhmja e njësisë.

Zhvillimet e vrullshme ekonomike (rritja ekonomike, futja e produkteve të reja, rritja e kapaciteteve industriale, rritja e kërkesës konsumatore, ndërthurja e tregjeve etj,.) shoqërohen me rritjen e kompleksitetit të problemeve të menaxhimit dhe për rrjedhim edhe me rritjen e vështirësive për t'i zgjidhur ato.

Një mënyrë që përdoret për të lehtësuar zgjidhjen e këtyre problemeve është formalizimi i tyre 

(paraqitja me anën e modeleve matematike) dhe përdorimi i metodave sasiore për zgjidhjen e tyre. Njohja e një numri të konsiderueshëm modelesh të tilla dhe e proçedurave të zgjidhjes së tyre ndihmonjë menaxherët në marrjen e vendimeve “sa më të mira” në veprimtarinë e njësive ekonomike që drejtojnë.

Zbatimi i këtyre modeleve dhe teknikave në zgjidhjen e problemeve fillimisht ishte i kufizuar nga pamundësia praktike për zgjidhjen e tyre. Zhvillimet në shkencat komjuterike i kanë dhënë një vend tepër të rëndësishëm përdorimit të modeleve e teknikave sasiore të kërkimeve operacionale, duke i bërë ato një mjet të padiskutueshëm të menaxhimit të biznesit.

Fazat kryesore që ndiqen në proçesin e marrjes së vendimit janë :

formulimi i problemit

ndërtimi i problemit

zgjidhja e modelit 

vlefshmëria e problemit

zbatimi në praktikë i modelit të ndërtuar (implementimi i zgjidhjes).

Kryesisht do të merremi me fazën e tretë (e pjesërisht me të dytën) të proçesit të përmendur më sipër. Hapi i parë i ndërtimit të modelit është abstragimi dhe pasqyrimi i një sërë elementësh që përcaktojnë problemin që studiohet me ndihmën e variablave.

Modelet janë kombinime variablash dhe parametrash që pasqyrojnë lidhjet reale që ekzistojnë në problem. Marrëdhëniet midis variablave të modelit pasqyrohen me anë të relacioneve matematikore ku ndërhyjnë dhe parametrat e ndryshëm të problemit.

Në përgjithësi përdorimi i metodave sasiore dhe algoritmeve për zgjidhjen e problemeve kërkon përpunimin e një informacioni të gjerë dhe kryerjen e një volumi të madh llogaritjesh. Vetë mbajtja e informacionit dhe vënia e tij në disponicion në kohën dhe vendin e duhur nuk mund të kuptohet pa ndihmën e sistemeve kompjuterike. Nga ana tjetër, koha që duan llogaritjet për zgjidhjen e problemeve nga një herë mund të jetë aq e gjatë sa që zgjidhja të mos jetë më e vlefshme. Përdorimi i kompjuterave dhe programeve kompjuterike e ka lehtësuar jashtëzakonisht zgjidhjen e problemeve qofshin këto edhe të ndërlikuara. Për më tepër ato kanë bërë që vëmendja kryesore të përqëndrohet në shtrimin e problemeve, përgatitjen e tyre në një trajtë të tillë që të jenë të gatshëm për t'u përpunuar në kompjuter dhe në interpretimin e zgjidhjeve të fituara.

modele matematike janë aq të ndërlikuara sa është e pamundur të zgjidhen me anën e algoritmeve të përshtatshëm optimizues. Në raste të tilla është e domosdoshme të braktiset kërkimi për zgjidhjen optimale të saktë dhe të kërkohet një zgjidhje e përafërt e mirë duke përdorur heuristika. Një ndër modelet më frekuente dhe më të suksesshëm të optimizimit që përdoret gjërësisht në marrjen e vendimeve menaxheriale është programimi linear.

Situata më tipike që ndesh një menaxher në punën e tij të përditshme është ajo e përdorimit të burimeve që ka në dispozicion : punës, lëndëve të para, kapaciteteve të makinerive, kapitaleve etj,. në mënyrën më të mundshme, pra që kompania që ai drejton të arrijë rezultate sa më të mira. Rezultati i dëshiruar mund të shprehet me gjuhën e maksimizimit të fitimit, minimizimit të kostos etj,.

Formulimi i problemit. 

Modelimi matematik i disa problemeve praktike si probleme programimi linear.

Në shumë probleme të ekonomisë kërkohet vlera më e madhe ose vlera më e vogël e një funksioni të disa variablave kur këto variabla plotësojnë disa kushte të caktuara të shprehura me anë ekuacionesh ose inekuacionesh. Këto quhen probleme optimizimi.

Dimë se në qoftë se kushtet që duhet të plotësojnë variablat shprehen me ekuacione, problemet e optimizimit mund të zgjidhen me anën e funksionit të Lagranzhit. Por zgjidhja e tyre ka vështirësi, si në teknikë, ashtu edhe në veprimet e shumta. Pikërisht për këtë arsye, për klasa të veçanta problemesh optimizimi, janë përpunuar dhe përdoren metoda të reja zgjidhjeje, më të thjeshta se metodat e analizës klasike. 

Teoria që studion probleme të tilla dhe që ka përpunuar metodat për zgjidhjen e tyre është programimi matematik.