OBJEKTI I METODIKËS SË MATEMATIKËS

1.OBJEKTI I METODIKËS SË MATEMATIKËS 

1.1.Objekti i metodikës së matematikës

 Metodika e matematikës është një lëndë që bën pjesë në grupin e lëndëve  pedagogjike. Pedagogjia përpunon ligjet e përgjithshme të mësimit  dhe të edukimit, ndërsa metodikat merren me çështje

të veçanta të këtij procesi. Metodika e të mësuarit të matematikës ka për objekt studimin, përpunimin, përsosjen metodave dhe të formave të ndryshme të të mësuarit të matematikës në shkollë, si dhe problemet e shumta organizative që paraqiten në zbatimin e këtyre metodave dhe formave në praktikë.

Kryesisht merret me procesin e të mësuarit të matematikës duke filluar nga parashkollorët dhe deri në shkollën e lartë, duke perfshire ketu edhe studimin e matematikës në mënyrë të pavarur. (Por ne këtë cikel leksionesh ne do të ndalemi kryesisht në procesin e të mësuarit të matematikës në 4 klasat e para të shkollës 9-vjeçare)

Procesi i të mësuarit kalon ne katër etapa kryesore:

a)Qëllimi i të mësuarit. I cilia i përgjigjet pyetjes” Përse ne mësojmë matematikën?

b)Objekti i të mësuarit. E cila merret me ate se cfare materiali do tu jepet nxënësve ne klasa të ndryshme dhe në si ky materiali do të qetë i kuptueshëm nga nxënësit

c)Përmbajtja e të mësuarit. Se cilat janë metodat më efikase për të përvetësuar matematikën më lëhtë, më thellë dhe më shpejt?

d)Metodat e të mësuarit. Ka te beje me ate si të organizohet puna e nxënësve për studimin e pavarur të matematikës

Për lëndë të veçanta këto elementë kanë veçoritë e tyre.

Këto 4 etapa matematikës i zgjidh duke u bazuar kryesisht në përvojën e shkolles sonë dhe në atë të shkollave në vende të tjera. Po keshtu edhe gjate praktikes se perditshme shkollore percaktohen edhe metodat me efikase te mesuarit te matematikes dhe forma e kontrollit te njohurive.

1.2.Format e kërkimeve shkencore në fushën e metodikës

Në metodikën e matematikës ashtu si edhe në metodikat e tjera, është e domosdoshme të bëhen vazhdimisht studime e kërkime shkencore për çështje aktuale.

Dy janë format kryesore të kërkimeve shkencore ne fushën e metodikës:

1.Vëzhgimet në procesin mësimor

2.Eksperimenti metodik

Persa i perket vezhgimeve ne procesin mesimore këto vëzhgime kryhen nga  mësuesit  dhe kolektivat pedagogjikë.

Natyrshëm lind pyetja: Çfarë mund të vëzhgohet? Çdo mësues vëzhgon punën e tij, efikasitetin e metodave që përdor, përvetësimin e njohurive nga nxënësit, kryerjen e detyrave të shtëpisë, punën e pavarur të nxënësve etj.

Vëzhgimet e organizuara nga kolektiva mësuesish ose shkollash kanë si objekt kryesor përvojën e mësuesve të përparuar te shkolles. Në tërë sistemin e punës së tyre mësimore – edukative. Për këtë shikohen orë mësimi, zhvillohen mësime të hapura, u bëhen testime nxënësve, kontrollohen detyrat e shtëpisë, analizohen gabimet etj.

Në çdo lloj vëzhgimi mbahen shënime nxirren përfundime dhe pastaj behen pergjithesime te bazuara shkencerisht.

Në ngjashmëri me këtë veprohet edhe me eksperimentin pedagogjik.

Në përgjithësi eksperimentohen programe të reja, tekste e mjete të reja konkretizimi, metoda të reja etj. Sipas qëllimit dhe përmbajtjes, eksperimenti mund të zgjasë disa javë, disa muaj ose disa vjet.

Përveç këtyre dy formave, një burim i rëndësishëm për metodikën e matematikës është historia e zhvillimit te matematikës si shkencë. Aty pasqyrohet rruga e zhvillimit të koncepteve matematike, të metodave dhe gjuhës së saj. Shpesh (por jo gjithmonë) është e dobishme që edhe në mësimdhënie të ndiqet rruga historike e zhvillimit të këtyre koncepteve apo metodave.

Një burim tjetër për metodikën e matematikës është historia e zhvillimit të arsimit matematik. Aty duket evolucioni që kanë pësuar përmbajtja dhe metodat e mësimdhënies së lëndës së matematikës nën ndikimin e zhvillimit të shkencës së matematikës dhe shkencave të tjera. Aty vëmë re gjithashtu vështirësitë që dalin për të futur të renë në mësimdhënie. P. Sh. Teoria e limiteve u fut në shkollë rreth 100 vjet pasi qe përpunuar dhe kishte zënë vend në shkollë gjuha simbolike e algjebrës.

Një situatë e ngjashme vihet re sot me simbolikën logjike të matematikës moderne.

Nga këto të dhëna historike nxirren konkluzione praktike lidhur me problemet e sotme të metodikës së matematikës.

1.3.Lidhja  e metodikës së matematikës me shkencat e tjera

Metodika e matematikës ka lidhje me vetë matematikën, pedagogjinë, didaktikën, psikologjinë dhe logjikën.

Metodika e matematikës përbën një fushë “kufitare” që shtrihet në “kufijtë” e matematikës, pedagogjisë, didaktikës, logjikës dhe psikologjisë. Ajo i bashkon këto shkenca dhe vepron mbi to për të zgjidhur problemet e vetë.

Lidhja e metodikës së matematikës me shkencën e matematikës

Zgjidhja e problemeve të përmbajtjes dhe të metodave të të mësuarit të matematikës mbështeten kryesisht në vetë shkencën e matematikës . Shkolla duhet t’i pajisë nxënësit me bazat elementare të shkencës së matematikës, prandaj zgjedhja e materialit që do t’u jepet nxënësve duhet të bëhet pas një analize të thellë të koncepteve, ideve dhe metodave të vetë matematikës si shkencë, duke marrë në konsideratë edhe vendin e rolin që luan matematika në sistemin e shkencave të tjera dhe në teknikë. Ky material i zgjedhur përpunohet nga ana didaktike që të jetë i përvetësueshëm nga nxënësit duke plotësuar kërkesat pedagogjiko-psikologjike.

Por shkenca e matematikes pasurohet dhe zhvillohet vazhdimisht në përmbajtje e në metodat e saj. Prandaj këto ndryshime duhen ndjekur hap pas hapi dhe të gjejmë rrugët për t’i pasqyruar në procesin mësimor. P. Sh. Në shekullin XVIII numri natyror në matematikë kuptohej si një grumbull njësish. Nën ndikimin e këtij kuptimi në mësimet e para të aritmetikës u kushtohej një vëmendje  e madhe ushtrimeve për formimin e çdo numri të dhjetëshes së parë. 

Matematika moderne e jep konceptin e numrit natyror duke u bazuar në teorinë e bashkësive. Vendosja e korrespondencës reciprokisht univoke midis elementëve të bashkësive të fundme na jep mundësinë të dallojmë bashkësitë e fundme joboshe ekuivalente midis tyre dhe karakteristikën e përbashkët të këtyre bashkësive, numrin natyror. Ky interpretim i numrit natyror jepet sot në matematikën e ciklit të ulët të shkollës 8-vjeçare krahas interpretimeve të tjera të tij.

Në këtë mënyrë vihet re që zhvillimi dhe pasurimi i shkencës së matematikës ndikon edhe në zhvillimin dhe pasurimin e matematikës si lëndë mësimore. Ky ndikim nuk shfaqet vetëm në shtimin e vëllimit të njohurive, por edhe në mënyrën e paraqitjes së tyre.

Lidhja e metodikës së matematikës me pedagogjinë

Në fakt metodika e matematikës ka qenë pjesë e pedagogjisë. Ajo fillimisht u shkëput prej saj aty nga fillimi i shekullit XX, kur Pestolaci, pedagog i dëgjuar zviceran, shkroi librin “Të mësuarit konkret të numrave”.

Megjithatë metodika e matematikës mbetet e lidhur ngushtësisht me pedagogjinë e në veçanti me një pjesë të saj, me didaktikën. Në didaktikë shqyrtohen parimet e përgjithshme  të të mësuarit në shkollë. Si rrjedhojë didaktika është një ndër burimet e metodikës së matematikës. Ky burim shërben jo vetëm për problemet ve procesit mësimor të matematikës, por edhe për metodat kërkimore të problemeve të metodikës së matematikës.

Nga ana e saj, metodika e matematikës, duke u marrë me çështje konkrete të procesit mësimor, e pasuron didaktikën me realizimet e saj. Tërheqim vëmendjen që metodat e mësimit të matematikës nuk janë vetëm konkretizimi apo thellimi i metodave të përgjithshme të përpunuara në didaktikë. Ajo ka edhe metoda specifike të saj, që janë një pasqyrim i metodave të vet matematikës si shkencë në procesin e mësimor.

Lidhja e metodikës së matematikës me logjikën

78

Dihet se logjika studion format e arsyetimit të drejtë. Ajo jep rregullat nëpërmjet të cilave në bazë të disa kushteve nxirren përfundime të caktuara të çdo shkence. Çdo shkencë bën konkluzione të përcaktuara që u takojnë objekteve të saj të studimit dhe si rrjedhojë shfrytëzohen forma të ndryshme arsyetimi. Kjo tezë ka vend edhe për metodikën e matematikës. Ndonëse në të përdoren gjerësisht të dhënat eksperimentale, jo të gjitha pohimet e saj nxirren në rrugë eksperimentale. Shumë pohime të metodikës së matematikës nxirren logjikisht nga pohime të tjera të nxjerra më parë  në rrugë logjike ose eksperimentale.

Lidhja e metodikës së matematikës me psikologjinë

Metodika e matematikës mbështetet edhe në të dhënat e psikologjisë. Kështu, duke u bazuar në të dhënat e përshpejtimit fizik e psikik të fëmijëve të sotëm, programi i matematikës në ciklin e ulët u ndryshua, duke u pasuruar me koncepte e metoda të reja, si koncepti i bashkësisë, i relacionit, i simetrisë etj.

1.4.Njohuri të shkurtra mbi historikun e zhvillimit të matematikës

Gjithë historia e zhvillimit të matematikës mund të ndahet në katër periudha. Çdo periudhë fillon me zbulime të shquara shkencore që kanë përcaktuar kalimin e matematikës në një gjendje të re cilësore.

Periudha e parë quhet ndryshe periudha e lindjes së matematikës. Ajo fillon nga kohërat më të lashta dhe mbaron në shekujt VI – V p. E. R. Zbulimi më i madh i kësaj periudhe është zbulimi natyror.

Periudha e parë e zhvillimit të matematikës, që zë një varg të gjatë shekujsh, që nga hapat e parë të njeriut në rrugën e abstraksionit matematik, karakterizohet në vija të përgjithshme nga këto fakte; në këtë periudhë u fut koncepti i numrit racional; u mësua të emërtohej dhe të shkruhej çdo numër sado i madh; u përvetësuan veprimet aritmetike ; u caktuan vetitë dhe mënyrat e matjes së disa madhësive si gjatësia, këndi, syprina, vëllimi, duke u kuptuar rezistenca e numrit irracional; u zbuluan vetitë e figurave dhe të trupave gjeometrikë të thjeshtë, si të shumëfaqëshave, të rrethit, të poliedrave, të cilindrit, të konit dhe të disa kurbave. Gjatë kësaj periudhë matematika kënaqi nevojat më të para që iu paraqitën njeriut në jetën ekonomike të tij, si p.sh numërimi i sendeve të ndryshme, ndarja e tokave, matja e syprinave të tokave, njehsimi i vëllimeve, krahasimi i gjatësi të rrugëve etj.

Kërkesa më të mëdha ndaj matematikës në hapat e parë të zhvillimit pati astronomia, dhe kjo shpuri në themelimin e trigonometrisë dhe, në radhë të parë, të trigonometrisë sferike.

Periudha e dytë quhet ndryshme periudha  e matematikës elementare. Si fillim i së cilës shërbeu ndërtimi i matematikës si shkencë deduktive nga Euklidi në librin e tij të famshëm “Fillimet” ose “Bazat”. Derti në shekujt VI – V p. e. R. Matematika nuk formonte ndonjë shkencë më vete dhe faktet matematike nxirren kryesisht në bazë të vrojtimit dhe eksperiencës. Rreth shekullit VI p. e. r. matematika filli të zhvillohej shumë në Greqi në një drejtim të ri. Matematikanët grekë sistemuan njohuritë e mëparshme në një teori të vërtetë matematike dhe e bënë matematikën një shkencë deduktive. Pjesa më e madhe e punimeve dhe rezultateve të arritura nga matematikanët grekë nuk e kanë humbur vlerën e tyre edhe në kohën e sotme.

Por matematika greke ka pasur edhe disa të meta që kanë frenuar në një farë mase përparimin e mëtejshëm të saj. Një nga këto të meta ka qenë shkëputja e teorisë nga praktika. Një e metë tjetër është fakti që në matematikën greke ka zotëruar filozofia idealiste e Platonit, e cila pati futur në matematikën greke një tog kufizimesh, disa nga të cilat e kanë ruajtur influencën e tyre negative  deri në ditët e sotme, si p.sh kufizimi artificial i ndërtimeve gjeometrike vetëm me vizore e kompas. Njëkohësisht me matematikën greke dhe pavarësisht nga ajo u zhvillua matematike indiane. Indianët nuk e shkëputnin teorinë nga praktika, logjikën nga eksperienca, siç bënin shkencëtarët grekë. Megjithëse matematika indiane nuk arriti nivelin e matematikës greke, ajo ka dhënë shumë njohuri të vlefshme që kanë hyrë në mënyrë të qëndrueshme në shkencën botërore dhe që janë ruajtur deri n ditët e sotme. Kështu p.sh matematikës indiane i përket sistemi dhjetor i numërimit bashkë me teknikën e veprimeve aritmetike të bazuara në të, përpunimi i rregullave më numrat negativë e rrënjët, rregullat e zgjidhjes së ekuacioneve të gradës së parë e të dytë etj.

Trashëgimtarë të kulturës greke dhe indiane janë popujt e bashkuar në shekullin VII të epokës së re nga Kalifati arab. Ata kanë ruajtur dhe plotësuar matematikën greke dhe indiane gjatë shekujve të mesjetës  kur shkenca evropiane  pësoi një periudhë të gjatë dekadence. Duke filluar nga shekulli VII u përkthyen në gjuhën arabe veprat e matematikanëve indianë dhe grekë dhe më vonë evropianët u njohën me këto vepra  në përgjithësi vetëm me anën e përkthimeve arabe.

Ndër punimet origjinale më të rëndësishme të kësaj kohe meriton të përmenden veprat e matematikanit të dëgjuar të shekullit IX  Muhamed Hovarezmi. Nga vepra e tij  me titull “Alxhebër all mukaballa” u fut për herë të parë në shkencë fjala “algjebër” për të treguar veprimin e transportimit të një kufize nga njëra anë në anën tjetër të ekuacionit.

Evropianët përvetësuar matematikën greke dhe indiane nga shekulli XV. Krahas  përkthimit të veprave matematike greke në gjuhën latine, e cila ishte gjuha ndërkombëtare e shkencës në Evropë, u botuan edhe disa vepra matematike origjinale kryesisht me karakter tekstesh mësimore.

Në shekullin XVI u bënë disa zbulime matematike të rëndësishme: u gjet zgjidhja me rrënjë e ekuacioneve të fuqisë së tretë  dhe të katërt, u caktuan metodat e llogaritjes së përafërt të rrënjëve reale të ekuacioneve me fuqi të çfarëdoshme me koeficientë numerikë, u bënë hapat e parë për futjen e numrave kompleksë, u arritën suksese të mëdha në çështjen e krijimit të simbolikës algjebrike (Vieta Dekarti) etj.

Periudha e tretë. Periudha e matematikës së lartë klasike, e cila zë fill në shekullin XVII me krijimin e njehsimit diferencial dhe integral prej Njutonit, Lajbnicit, Dekartit dhe zgjatet deri në gjysmën e parë të shekullit XIX.

Në këtë periudhë matematika zhvillohet si shkencë e ndryshimit të madhësisë dhe e transformimit të figurave gjeometrike. Zhvillimi i matematikës elementare ka vazhduar edhe pas shekullit XVI. Përmendim p.sh. futjen në përdorim të thyesave dhjetorë, shpikjen e logaritmeve, sistemimin deri në kohën e sotme të algjebrës  dhe trigonometrisë shkollore dhe punën e madhe të bërë për sistemimin e gjeometrisë së Euklidit.

Zhvillimin e matematikës në këtë periudhë e kanë përcaktuar dy ide themelore: lëvizja dhe ndryshimi. Kthesë rrënjësore në matematikën e kësaj periudhe ka qenë madhësia e ndryshueshme e Dekartit. Objekti kryesor i studimeve u bë varësia midis madhësive të ndryshueshme. Shkenca kaloi nga shqyrtimi i numrave në shqyrtimin e funksioneve. Shqyrtimi i madhësive të ndryshueshme dhe i varësive funksionale çoi në zhvillimin e koncepteve themelore të analizës matematike, si të infinitiv, të limitit, të derivatit, të diferencialit dhe të integralit. Edhe fusha e studimeve të gjeometrisë zgjerohet në mënyrë esenciale me futjen në gjeometri të idesë së lëvizjes dhe transformimit të figurave gjeometrike.

Shekujt XVII dhe XVIII, që janë periudha e fitoreve të mëdha të shkencës matematike në këtë drejtim të ri, janë të lidhur me emrat e Dekartit, Fermait, Njutonit, Eilerit, Lagranzhit, Laplasit etj.

Periudha e katërt është periudha e matematikës së raporteve të ndryshueshme  ose matematika moderne, e cila fillon në gjysmën e parë të shekullit XIX me krijimin e gjeometrisë joeuklidiane nga Llobaçevski, Boliai dhe vazhdon edhe në ditët tona. Në periudhën e katërt matematika u bë shkenca e raporteve sasiore më të përgjithshme (për të cilët numrat dhe madhësitë janë raste të veçanta) dhe e formave më të përgjithshme të hapësirës, për të cilat figurat me një, dy dhe tre dimensione janë raste të veçanta.

Në këtë periudhë zhvillim të madh morët të gjitha disiplinat kryesore matematike, si gjeometria, algjebra, analiza matematike etj. Zhvillimi i matematikës çoi në shfaqjen e disiplinave të tjera të reja matematike (analiza funksionale, teoria e probabilitetit etj), që kanë problemet e tyre specifike, metodat dhe gjuhën e tyre. Njëkohësisht me procesin e diferencimit ndodh dhe procesi i anasjelltë i bashkimit, procesi i depërtimit reciprok  të metodave dhe të ideve të degëve të ndryshme të matematikës. Ai mori një zhvillim të madh në fund të shekullit XIX dhe në fillim të shekullit XX, kur ishin përpunuar bazat e përgjithshme logjike të m,atematikes moderne. Idetë teorike bashkësiore u bënë bashkuesit.

Fusha të ndryshme të matematikës, që më parë dukesh se s’kishin asgjë të përbashkët, u bë e mundur të ndërtohen mbi bazën e ideve të përgjithshme bashkuese.

Disa karakteristika themelore të matematikës të periudhës së katërt.

1.Zgjerimi thelbësor i fushës së aplikimeve të matematikës. Kjo u bë e mundur në sajë të krijimit të degëve të reja të matematikës dhe zhvillimit të makinave llogaritëse elektronike.

2.Krijimi i koncepteve dhe metodave më të reja përgjithësuese. Kjo veçori siguron ruajtjen e unitetit të matematikës pavarësisht nga rritja dhe degëzimet e shumëllojta të saj.

3.Ngritja e matematikës në një shkallë më të lartë abstraksioni, me aftësi zbatuese më të plotë.

4.Forcimi i vazhdueshëm i rigorozitetit. Deduksioni logjik bëhet mënyrë kryesore e arsyetimit për nxjerrjen e pohimeve të ndryshme matematike.

 Arsyetimet me induksion dhe në mënyrë intuitive zënë një vend të rëndësishëm në veprimtarinë krijuese për zbulimin e thelbit të objekteve matematike dhe të lidhjeve midis tyre.

1.5. Matematika si shkencë dhe si lëndë mësimore

Njerëzimi, që në kohët më të lashta, duke u përpjekur për zgjidhjen e problemeve të jetës praktike ka grumbulluar një vëllim të madh njohurish matematike. Matematika si shkencë ka si objekt të saj format e hapësirës dhe marrëdhëniet sasiore të botës reale.

Matematike si lëndë mësimore duhet të plotësojë disa kushte:

Së pari. Të pajisë nxënësit me ato baza elementare të shkencës së matematikës që janë të domosdoshme  si për jetën praktike, ashtu dhe për të vazhduar shkollat e larta.

Së dyti. Matematike shkollore duhet të përshkohet nga po ato ide, nga po ajo frymë e po nga ato metoda që përshkohet shkenca e matematikës.

Së treti. Në matematikën shkollore duhet të pasqyrohen ndryshimet që ndodhin në shkencën e matematikës.

Së katërti. Në matematikën shkollore materiali duhet t’i përshtatet moshës së nxënësve, të jetë sa më i kuptueshëm, i përvetësueshëm nga nxënësit dhe të mjaftojë koha për ta trajtuar. Për t’u realizuar kjo kërkesë, shpesh konceptet nuk jepen tamam si në shkencë, por bëhen ndryshime që më vonë trajtohen lehtë.

Detyra Plote

Bashkesit, funksioni ndarja e lloit te tyre ne ciklin fillore

Bashkesite

Në përgjithesi nje bashkesi do te quhet e dhëne ose e percaktuar kur eshte e mundur te thuhet se nje object I percaktuar ben pjese ose jo ne kete bashkesi. Objektet që e perbejnë një bashkësi quhen elementë e

kesaj bashkesie ose thjeshte elementet. Psh.: bashkesite e numrit natyrore.

Bashkesitë si rregull shënohen me shkronja te medha A,B,C..,S,X,Y…,kurse elementet me shkronja te vogla a,b,c…,s,x,y,…

Në qoftë se objekti a eshte element i bashkesise A, atëhere do të përdorim shënimin a∈A, të cilin do ta lexojmë në njërën nga menyrat ,që sigurisht kanë të njëjtin kuptim: “ a-ja i perket A-së”,”a-ja është element i A-së;” “A-ja ka elementë a-në ,”A-ja permben a-në” në qoftë se a nuk është element i bashkesisë A, atëhere do të shkruajme a ∉  A dhe do ta lexojmë, A-ja nuk i përket a-se,ose a eshte s’elementi i A-së. Ose A-ja nuk e ka element a-në ose akoma A-ja nuk e përmban a-në.

Shpesh një bashkësi shënohet duke vendosur elementët e saj ndërmjet kllapave të përdredhura.

Le te jete bashkesia A e numrit natyrore me te madhen se 10 dhe me te vogel se 16. Menyrat kryesore per paraqitjen e nje bashkesie jane 3:

1.      Duke treguar nje per nje elementet e saj

p.sh.: A={ 11,12,13,….}

2.      Duke treguar cilesite karakteristike te elementeve te saj.

p.sh.: A={ a,a nr natyrore i till qe 10<a<16}

3.      Me diagramen e Venit

Elementet e nje bashkesie mund te jene nga me te ndryshmit p.sh.: A={ beni, lule, vazo}

Ato formaojne bashkesi sepse ekzistojne objektivisht. Nuk formojne bashkesi p.sh.: librat interesant ten je bibloteke.

Bashkësitë ndahen në këtë mënyrë:

Bashkësitë të fundme ,ku përbehen nga nje numër i fundëm elementësh                                          Bashkësitë të pafundme,ato që kanë një numër të pafundëm elementësh                                                        Bashkësi boshe,ato që nuk përmbajnë asnjë element.

Dhenia e konceptit te bashkesise ne klasen e 1

Bashkesia ne klasen e pare kalon ne disa faza si:

Fillimisht koncepti i bashkesise jepet si sinonim i fjaleve grumbull, tuf, tog. Mesuesi mer ne dore nje tufe me fletore dhe pyet nxenesit se ckam ne dore pasi nxenesit pergjigjen mesuesi pergjigjet qe ne dore kam nje tufe me lapsa qe formojne nje bashkesi

Koncepti i bashkesise perpunohet me tej me individualizmin e elementeve sipas cilesive karakteristike te elementeve te ndryshem .p.sh.: nga nje grup petezash qe nxenesit kane ne dore kerkohet nga mesuesi qe te nxjerrin petezat me ngjyre te kuqe. Mesuesi sqaron qe ju keni nxjerre mbi bange bashkesine e petezave te kuqe. Percaktimi i bashkesise behet sipas forms. Mesuesi i kerkon nxenesve te nxjerrin mbi bange petzat katrore, rrethore etj. Me tej cilesia karakteristike e elementeve perbehet prej 2 ose 3 vetish. P.sh.: mesuesi kerkone qe nxenesi te nxjerri mbi bange bashkesine e petzave trekendore te kuqe.Ne dhenjen e konceptit te bashkesise perdoret koncepti brenda dhe jashte duke qarkuar me vije te mbyllur elementet e nje bashkesie. Kuptimi i perkatesise qe k ate beje me bashkesine dhe elementet e saj lidhet me te qenit brenda ose jashte kesaj vije te mbyllur. Perpunimi i metejshem i konceptit te bashkesise eshte shenimi i cilesise karakteristike ne etiket. Kjo cilesi jepet vetem nga nje veti e elementeve te bashkesise por mund te jete dhe mohimi i vetise se elementeve te bashkesise p.sh.:

Krahasimi i bashkesive

Metoda baze per krahasimin e bashkesise eshte metoda e shoqerimit nje per nje te elementeve. Kur kemi dy bashkesi te dhena.

Baza per kete krahasim eshte se a mbetet apo jo element e bashkesise pa u shoqeruar. Si veprohet konkretisht per krahasimin e bashkesive. Mesuesi nxjerre para klases 5 nxenes dhe ne dore ai mbane 4 fletore, dhe u drejtohet nxenesve cfare ka me shume fletore apo nxenes?

Pastaj mesuesi keto fletore ja jep nje nxenesi tjeter dhe i thote qe tja jape fletoret ketyre nxenesve qw jane perpara.

Mesuesi thote a mbeti njeri pa fletore? Pastaj mesuesi sqaron se fletore ka me pake se nxenes dhe se nxenes ka me shume se fletore. Pasi behen ushtrime te ndryshem per krahasimin e bashkesive kalohet nen ndertimin e nje bashkesie qe ka element sad he bashkesia e dhene, me shume ose me pake se ajo. P.sh.: mesuesi vizaton ne derrase disa rrethore dhe kerkone nga nxenesit qe te vizatojne po aq katrore sa jane rrathe. Ne kete rast shoqerimi nje per nje I elementeve behet me sy.

Trajtimi I njohurive mbi bashkesine ne klasen e dyte

Ne klasen e dyte rimeren njohurite mbi konceptin e bashkesise, nenbashkesise dhe krahasimi I nenbashkesive me anen e relacionit me shum se me pak se. kuptimi per bashkesi rimeret duke evidentuar cilesite karakteristike te elementeve te bashkesise. Ne lidhje me kete trajnohen dy problem: jeper bashkesia dhe kerkohet cilesia e elementeve te saj. Problem I dyte ndrtohet bashkesia dhe jepet cilesia karakteristike. P.sh.: bashkesia e petzave trekendore te medha, ose bashkesia e katroreve te kuq te vegjel

Bashkësia B quhet nënbashkesi ose pjesë e bashkësisë A në qofë se cdo element i B –së është element i A-së. Në qoftë se B është një nënbashkësi e A-së atëhere kjo gjë shënohet  B⊆A.Ky shënim lexohet edhe ndryshe :” B-ja përfshihet në A” ose “ bashkësia a përmban a-në”.kështu për shembull, kemi {1,2}⊆{-1,0,1,2}.simboli ⊆ quhet shenja e përfshirjes

p.sh.: mesuesi i kerkon nxenesve te nxjerrin mbi bange bashkesine e petzave te kuqe dhe ti qarkojne keto petza. Pastaj I kerkon te qarkoj bashkesine e petzave te kuqe te vogla ne kete forme kjon konceptin e bashkesise.

Caktimi I nenbashkesise se nje bashkesie behet edhe me mohimin e nje cilesie. P.sh.: mesuesi thote te ngrihen ne kembe nxenesit qe nuk jane vajza.

Trajtimi I njohurive mbi bashkesine ne klasen e 3

Rimarrja e njohurive mbi bashkesite ne klasen e 3 ka si qellim konsoludimin e ketyre njohurive te thellohen. Disa shembuj ushtrimesh qe trajtohen ne klasen e 3 p.sh. mesuesja paraqet ne derrase nje bashkesi me diagram veni…

           Pasi nxenesit tregojne se elementet e bashkesise a jane petza mesuesi I paraqet keto    bashkesi ne kllapa dhe nxenesit emertojne elementet e bashkesise

Mesuesi paraqet ne derrasen e zeze nje bashkesi me diagram veni dhe disa element qe ndodhen jashte bashkesise. Pasi nxenesit tregojne se elementet e bashkesise jane numra natyrore. Mesuesi pyet a eshte elementi I bashkesise numri 9

Shembull tjeter eshte : jepet etiketa qarkohen elementet.

Trajtimi I njohurive mbi bashkesine ne klasen e 3

Qellimi detyrave qe I perkasin ketij koncepti eshte qe nxenesi ti konsideroi elemeeenttt ten je bashkesie sipas cilesis karakteristike te tyre qe kkketej lllinnnd nevoja e perdorimit te simboleve   per te treguar nese nje element I perket nje bashkesie ose jot e familjarizuar nxenesit me keto koncepte eshte ose jo element I kesaj bashkesie mesuesi organizon keto veprimtari.

Detyra Plote

Zbatimet e matematikes ne shkenca

Zbatimet e matematikes ne shkenca

      Qëllimi:Të njohim historikun e zhvillimit të shkencës së matematikës nëshekuj. Të krijojmë konceptet e nevojshme mbi lidhjen e matematikës mekontekstet social-kulturore dhe ekonomike. Të ndërgjegjësohemi për rolin e matematikës në zhvillimin eshkencave të tjera.

Objektivat:

•Të mësojmë se zhvillimi I matematikës ka ecur nëpër disafaza të caktuara.

•Të kuptojmë lidhjen ngushtë të zhvillimit ekonomik nëzhvillimin e shkencës së matematikës.

•Të njohim biografitë e matematicienëve të rëndësishëm.

•Të argumentojmë rolin e matematikës në zhvillimin eshoqërisë njerëzore.

Të aplikojmë metoda të sakta kërkimore në përputhje meqëllimin e projektit.

2.      

Hyrje

 Për të kuptuar shkencën e matematikës është e rëndësishmetë përshkojmë historinë për të parë zbulimin e saj, për tënjohur fillimet e saj, dhe se kush e zbuloi atë. Fjala "matematikë" vjen nga gjuha e lashtë greke (μάθημαmáthema), që do të thotë mësim, studim, shkencë, përveçkësaj ajo përgjatë kohëve ka marrë një kuptim më tëngushtë dhe më teknik që do të thotë "studim matematik" . Matematika përbën një fushë të njohurive abstrakte tëndërtuara me ndihmën e arsyetimeve logjike mbi konceptetë tilla si numrat, figurat, strukturat dhe transformimet.

Matematika dallohet nga shkencat tjera për një lidhje tëveçantë që ka ajo me realitetin. Ajo është e një natyre tëpastër intelektuale, e bazuar tek një seri aksiomash tëdeklaruara të vërteta (do të thotë që aksiomat nuk i janënënshtruar asnjë eksperience por janë të frymëzuara ngaeksperienca) ose mbi disa ligje përkohësisht të pranuara.Një pohim matematikor – i quajtur përgjithësisht teoremëose propozicion konsiderohet i vërtetë nëse procesi ivërtetimit formal që përcakton vlefshmërinë e sajrespekton një strukturë arsyetuese logjike-deduktive.

Matematika merret me studimin e raporteve sasiore dhecilësore të objekteve konkrete dhe abstrakte, si dhe mestudimin e formave hapësinore. Sipas Burbakistëve ajoështë shkencë që studion relacionet dhe në thelbin e sajështë kuptimi i numrit. Matematika është shkencëdeduktive d.m.th përfundimet e saj janë të përgjithshmedhe janë rrjedhim logjik i aksiomave.

Matematika Babilonase!

Matematika Babilonase I përketmatematikës së njerëzve tëMesopotamisë, që nga qytetërimihershëm Sumerian, përgjatëperiudhës Helenistike, deri neKrishtërim. Quhet matematikaBabilonase për shkak të vendit ku ustudiua. Më vonë gjatë sundimitArab, Mesopotamia, vecanërishtBaghdadi, u bë një qendër erëndësishme e studimit tëmatematikës islamike.

Matematika Egjiptiane. Matematika egjiptiane Ireferohet matematikës tëshkruar në gjuhën egjiptiane.Nga periudhahelenistike, grekëtzëvendësuan gjuhënegjiptiane si gjuhë të shkruartë dijetarëve egjiptianë.Studimi matematikor nëEgjipt vazhdoi vonë nënsundimin e Perandorisë arabe, si pjesë e matematikës islame, kur arabishtja u bëgjuha e shkruar e dijetarëve e gjiptianë.

Matematika Greke. Në Greqinë antike matematikapërjetoi një zhvillim të madh nganjë plejadë e tërë matematikanëshsiç janë :Pitagora, Talesi, Platoni, Eudoksi,Euklidi, Arkimedi, etj. Grekët evjetër matematikën e kuptonin nësensin e gjeometrisë dhe ishin atatë parët që i vërtetonint ë vërtetat matematikore të cilat ato i quanin teorema. Njohuritë matematikoretë grekëve të vjetër më vonë ipërvetësuan dhe i pasuruan arabëttë cilët quhen edhe themelues tëalgjebrës. Përkthimet arabe tëveprave të matematikanëve grekënë mesjetë depërtuan në Evropë.

Matematika KinezeMatematika e hershme kinezeështë aq e ndryshme nga ajo epjesëve të tjera të botës se pseështë e arsyeshme të supozojmënjë zhvillim të pavarur. Tekstimë i vjetër matematikor qëështë ruajtur nga Kina është PeiChou Ching Suan, e cila datonnga 1200 pes dhe 100 pes.

Matematika indiane. Qytetërimi I hershëm nënënkontinentin indianështë qytetërimi ILuginës Indus që lulëzoinë mes të 2600 dhe 1900pes në basenin e lumitIndus. Qytetet e tyre ishintë shtruar me rregullsigjeometrike, por nuk kadokumente të njohuramatematikore tëmbijetuar nga kyqytetërim.

Matematika moderne Shekulli i 20 e pa matematikën të bërënjë profesion i madh. Në një fjalim në 1900 në KongresinNdërkombëtar të Matematikanëve, DavidHilbert përcaktoi një listë të 23problemeve të pazgjidhura nëmatematikë. Këto probleme, që përfshininshumë fusha të matematikës, formuan njëfokus qendror për sa i shekullit të 20-tëmatematikës. Sot, 10 janë zgjidhur, 7 janëzgjidhur pjesërisht, dhe 2 janë ende tëhapura. 4 të mbeturat janë formuluarshumë lirshëm për tu deklaruar nësezgjidhen apo jo. Hamendjet e dukshme historike janëprovuar më në fund.

Historia e numrit! Numrat ose simbolet e përdorura për numërimkanë ekzistuar që kur njeriu mësoi për tënumëruar. Arkeologët dhe historianët tregojnë senumrat janë përdorur 32.000 vjet më parë. Ata ebazojnë këtë teori mbi gjetjet arkeologjike të tillasi eshtra dhe shkëmbinj me shenja mbi ta. Këtomund të ketë qenë numra ose shenja tëpërdorura për të mbajtur gjurmët e kohës ose tësasive të objekteve, të tilla si ushqim apo blegtori.

 Sistemet e thjeshta Sistemi i parë i numrit duhet të ketë qenë njësistem verifikimi. Sistemet e numërimit nuk kanësimbole komplekse ose vend vlera. Ky ështësistemi më i thjeshtë i numërimit edhe pse jopraktik për ta që kanë të bëjnë me sasi të mëdhatë numrit. Sistemi jonë modern ka numrin 10 sibazën e saj ose vend vlera. Një vend vlerëthjeshton përfaqësimin e numrave dhe numërimit.Një sistem i thjeshtë numri ishte sistemi inumërimit rendor. Ajo mendohet të ketë filluar kurnjeriu filloi të numëronte me gishtat e tij, seciligisht në këmbë për një numër unik.

 Sistemet Vend  Vlera Një çift i civilizimeve të lashta shpiku sistemet enumrave me vend vlera.Më i vjetri ishte sistemiMayan me 60 në bazën e saj, rreth 3400 pes.Egjiptianët shpikën një sistem me 10 në bazë në3100 para Krishtit. Vend vlera moderne ka numrin10 në bazën e saj. Ajo erdhi nga India me anë tëarabëve.

 Shpikja e Numrit Zero Numri zero është përdorur nga popuj tëndryshëm duke përfshirëmayat, egjiptianët, babilonasit dhe indianët.Egjiptianët përdorën zeron në regjistrat e tyrekontabël. Indianët e referuan zeron si "zbrazëti."Grekët kureshtarë u çuditën nga kjo figurë dhezhvilluan pikëpamje filozofike shumë interesantembi këtë temë.

 Zbulimi i numrave negativë Kinezët shpikën numrat negative të tyre. Kjoështë e regjistruar në "kapitujt e rinj në artin ematematikës" rreth vitit 100 pes. Matematikanëtgreke nuk e panë mundësinë deri rreth shekullittë 3-të pas Krishtit. Shpikja e numrave thyesorë—Shpikja e thyesave mund të gjurmohet nëegjiptianët e lashtë. Papirusi Kahun diskutonthyesat e tyre dhe probleme të tjeramatematikore. Kjo daton nga rreth 1800 pes. Mesgrekëve, njihet ajo që quhet “Elementët eEuklidit”.

  Shpikja e numrave iracional Indianët e kishin lidhje me numrat thyesorë, tëcilat regjistroheshin në Stananga Sutra-n e tyre.Një tekst, Sutra Sulba, shtjellohet në numratiracional. Ajo daton 800-500 pes. Një ndjekësgrek i Pitagorës, Hippasus, mendohet se kishtezbuluar numrat irracionalë në të njëjtën kohë.Por, Pitagora refuzoi të pranojë ekzistencën enumrave irracionale dhe Hippasus dënohet mevdekje.

 Shpikja e Numrave Modern! Indianët gjithashtu shpikën edhe sistemin moderntë numrave. Ato janë quajtur shpesh NumratArab, sepse ato erdhën në Evropë përmesarabëve. Persianët kopjuan sistemin e numritindian dhe pastaj e kaluan atë tek arabët. Mevonë një matematikan italian i quajtur Fibonacciudhëtoi për në Algjeri për të studiuar. Kur ai ukthye në shtëpi, ai solli numra indian. Ai shkroirreth sistemit në librin e tij "Liber Abaci." Kysistem së shpejti fituoi pranim të gjerë në të gjithëEuropën. Sot ai është sistemi numri i përdorur nëpraktikisht të gjithë botën.

. Numri është koncept themelor imatematikës, përdoret për numërim dhe matje.Simboli për shënimin e numrit quhet shifër. Përveçpërdorimit të tyre në numërimin dhe matje, numratpërdoruen shpesh në etiketa (numrat e telefonit), përbileta (numri i serial), si dhe për kodet (p.sh., ISBN).Në matematikë, përkufizimi i numrit është zgjëruargjatë viteve kështu kemi numra të tillë si zero, numranegativ, numra racional, numra irracional, dhe numrakompleks.

 Procedurat e caktuara të cilat marrin një apo mëshumë numra si input për të prodhuar një numërsi e rezultat quhen operacione numerike. Përshembull, operacioni pasardhës e rrit për 1 njënumër të plotë, pra pasardhës i 4 është 5. Më tëzakonshme janë operacione binare të cilat marrindy numra të dhënë për të prodhuar një numër tëvetëm si dalje. Shembuj të veprimeve binare janëpërveçtjerash, zbritja, shumëzimi, pjestimi, fuqizimi, etj.

 Klasifikimi i numrave  

Numrat natyral 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., n

Numrat e plotë −n, ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,5, ..., n

Numrat e plotë pozitiv1, 2, 3, 4, 5, ..., n Numrat racional a/bku a dhe b janë numra të plotëdhe b e ndryshme nga 0

 Numrat real Limiti i një vargu konvergjent tënumrave racional  Numrat kompleks a + bi ku a dhe b janë numra realdhe i është rrënja katrore e −1

Tipe të ndryshme numrash mund të klasifikohen në mënyra të ndryshmesipas bashkësive numerike apo sipas sistemeve numerike.

 Historia e zhvillimittë Matjes!

 Matja është caktimi i numrave për objekte osengjarje. Ajo është një gur themeli i shkencave më tënatyrshme si: teknologji, ekonomi, dhe hulumtimsasior në shkencat e tjera sociale.Njohuria jonë aktuale e peshave dhe masave tëhershme vjen nga shumë burime. Arkeologët kanëgjetur disa standarte tepër të hershme dhe ato ruhennë muzeume. Krahasimi i dimensioneve tëndërtesave me përshkrimet e shkrimtarëvebashkëkohorë është një tjetër burim i informatave.Një shembull interesant i kësaj është krahasimi idimensioneve të Partenonit grek me përshkrimin edhënë nga Plutarku nga e cila një ide mjaft të saktëtë madhësisë së këmbës së Attic është marrë. Nëdisa raste, ne kemi vetëm teori bindëse dhenganjëherë ne duhet të zgjidhim interpretimin ti jepetprovave. Duke studiuar dëshminë e dhënë nga të gjithaburimet në dispozicion, dhe duke nderthururfaktet relevante, ne kemi marrë disa ide tëorigjinës dhe zhvillimit të njësive. Ata kanëndryshuar shumë ose më pak gradualisht mekalimin e kohës në një mënyrë komplekse përshkak të një larmie të madhe të modifikuar Negjejmë njësitë e modifikuar dhe të grupouara në:sistemet e matjes të sistemit babilonas, sistemitegjiptian, sistemit Phileterian e moshës sëPtolemeut, sistemi olimpik i Greqisë, sistemitromak, dhe sistemit britanik.

. METRI Metri(gr.: μέτρον = matës) është njësi matësee gjatësisë në SI( sistemi ndërkombëtar i njësive)Kjo njësi përkufizohet si: gjatësi e rrugës që ekalon rrezja e dritës brenda (1/299 792 458)sekondave në vakuum, simboli i metrit ështëshkronja m e vogël e shtypit.

26. Shumfishat dhe nënfishat e metrit Kilometri:

1 km = 1000 m = 103 m

Hektometri: 100 m = 102 m

Dekameteri: 10 m

Metri: 1 m = 1000 mm = 100 m

Decimetri: 1 dm = 100 mm = 10-1 m

Centimetri: 1 cm = 10 mm = 10-2 m

 Milimetri: 1 mm = 1000 µm = 10-3 m

Mikrometri 1 µm = 1000 nm = 10-6 m

Nanometri: 1 nm = 1000 pm = 10-9 m

Pikometri: 1 pm = 1000 fm = 10-12 m

Femtometri : 1 fm = 1000 am = 10-15 m

Atometri: 1 am = ... = 10-18 m

Njësi të tjera të metrit

 1 km = 1000 m

 1 km = 10000 dm

1 km = 100000 cm

1 km = 1000000 mm

1 m =10 dm

1 m = 100 cm

1 m = 1000 mm

Matja e Kohës Njësia bazë e matjes së kohës është sekonda. Deri në vitin 1960, përkufizimi i sekondës ishte: sekonda është 1 86400 pjesë e një dite mesatarediellore. Si shihet, qoftë përkufizimi, qoftë matja esekond ës kalonte për nga astronomia. Astronomëtduhet të matin kohën që i duhet Diellit, brenda njëditënate, të vijë në pozicionin ku ishte një ditë mëparë në qiell. Në fakt, kjo kohë fluktuon rreth një vlere mesatarekryesisht për arsye të dy dukurive: orbita e Tokësështë një elips. Kështu, rrotullimi i dukshëm i Diellitnë qiell varion në varësi të afërsisë Tokë-Diell (ligji idytë i Kepler-it). Kohëzgjatja e ditënatës varet ngapjerrësia e boshtit të Tokës ndaj tangentes me

Në të dyja rastet, ky fluktuacion në kohë prekpjesën rreth 4 minuta që i shtohet ditës yjore përtë dhënë vlerën e ditës diellore. Ai ka një cikëlvjetor. Ndërkohë, preçesioni i ekuinokseve krijonnjë variacion sistematik në periudha njëvjeçare,sepse ka një cikël rreth 26 mijë vjeçar. Sidoqoftë, ka edhe faktorë të tjerë që prekinperiodën e rrotullimit të Tokës rreth boshtit tëvet si rrymat e brendshme në Tokë, rregjimi ierërave, etj.

Për sa i përket përcaktimit të orës në jetën epërditshme, duhen marrë në konsideratë disa faktorë.Së pari, mesdita e vërtetë e një vrojtuesi në globndodh atëhere kur qendra e Diellit kalon nëpërzenit, që do të ishte dhe koha zero për këtë pozicion.Për përcaktimin e këtij momenti duhen marrë nëkonsideratë të gjitha parregullsitë e thëna mësipër, nëpërmjet një ekuacioni që quhet ekuacioni ikohës. Ky ekuacion përcakton kohën mesatare përnjë pozicion të caktuar. Koha civileështë Koha mesatare plus 12 orë, në mënyrë që ditacivile të fillojë në mesnatë. Unifikimi i orëve në Tokëështë rregulluar nëpërmjet brezave orarë, çdo brezpërfshin një zonë 15 gradë në gjatësi gjeografike. Si kohë universale (UT) përkufizohet Koha civile eGreenwich, meridianit zero tokësor. Koha ligjore eShqipërisë është UT plus një orë në dimër ose plusdy orë në verë.

Kalendari që përdoretnë Shqipëri është KalendariGregorian.

Kilogrami Në shumë aspekte kilogrami është një njësi evecantë. Kështu madhësia e kiologramit nëSistemin SI krahasohet me prototipin e kilogramittë vjetër. Po ashtu kilogrami është e vetmjamadhësi e cila si njësi bazë fillon meparashtresen kilo para prapashteses gram.

 Amperi Amper quhet njësia për matjen e intensitetit tërrymës elektrike. Intensitet i rrymës quhet sasia eelektricitetit, e cila kalon nëpër një përcjellësi gjatënjë sekonde. Andre Mari Amper fizikan francez(1775-1836), zbuloi veprimin magnetik të rrymëselektrike, për nder të tij njësia për matjen e rrymësquhet Amper.

 Litra Litraështë njësia themelore në sisteminndërkombëtar të njësive që përdoret për matjene vëllimit të substancave të lëngëta. Vëllimin prejnjë litri e ka sasia e lëngut e cila mund të futet nënjë enë në formë të kubit me dimensione të tehutprej 1 dm.

Temperatura Kur prekim me dorë ndonjë trup, përjetojmëndjesi të cilën e shprehim si ngrohtë apo ftohtë.Themi se trupi i ngrohtë e ka temperaturën më tëlartë se trupi i ftohtë. Ndjesia për ngrohtësinë dheftohtësinë është relative. A do të kemi ndjesi përngrohtësi apo ftohtësi, varet se në çgjendje ishtedora që e preku objektin, a ishte e vendosur mëparë në akull apo në avuj të ujit. Mësaktësisht, dy njerëz japin përfundime tëndryshme për shkallën e ngrohjes së një trupi.Ndjesia e përfituar varet edhe nga lloji i trupi. Kurpërkim trupin metalik dhe atë të drurit, që kanë tënjëjtën shkallë ngrohjeje, trupi metalik na duketmë i ftohtë se trupi i drurit.

Matja e temperaturës

 Gjeometria është degë e matematikës që istudjon figurat e rrafshit dhe hapësirës dherelacionet në mes tyre. Fjala gjeometri vjen ngagreqishtja dhe ka kuptimin "matje e tokës" këtëfjalë e krijoi Herodoti.Me kalimin e shekujve gjeometria është bërë njëkompleks studimesh dhe kërkimesh shumë të gjëradhe shumë të pasura. Koha se kur ka "lindur"gjeometria si shkencë sipas Euklidit është [[shekulliIII|shekulli i III-të].Kontribute në gjeometri kanë dhënëedhe matematikanët Arkimedi dhe Apolloni i Perges.Në Egjipt rreth lumit Nil pas vërshimeve zhdukeshinkufijtë e parcelave dhe për këtë arsye njeriu u detyruaqë ti rindante prapë ato dhe për këto duheshin njohje tëdisa rregullave të cilat të përmbledhura e morën emringjeometri. Në shekullin e XVI-të gjeometria merr karakteralgjebrik, që përgatiste rrugën për në gjeometrinëanalitike e shtruar nga Fermat dhe Cartesiusi(Descartesi). Një ndarje e studimit të gjeometrisë sipasdegëve të ndryshme ndodh në shekullin e XIX-të. Nëkëtë periudhë bëjnë pjesë nje game e gjere

Gjeometri aksiomatike Euklidi mori një qasje më abstrakte, në “Elementet etij” , një nga librat më me ndikim e shkruarndonjëherë. Euklidi futi postulate te caktuara , dukeshprehur pronat fillore apo vetë-evidente tëpikave, linjave. Ai vazhdoi të nxirrte një përfundimrigorozisht nga arsyetimi matematik.Tipar karakteristiki qasjes së Euklidit në gjeometri ishte ashpërsia esaj, dhe ajo ka ardhur për tu njohur si gjeometriaxiomatice apo sintetike . Në fillim të shekullit të 19-zbulimi i geometries jo-Euklidianenga Gausit , i Lobachevsky , të Boljait , dhe të tjerëçoi në një ringjallje të interesit, dhe në shekullin e20 David Hilbert punësoi arsyetimin axiomatic në njëpërpjekje për të siguruar një bazë moderne tëNdërtime gjeometrike Shkencëtarët e lashtëkushtuan vëmendje tëveçantë për ndërtimin eobjekteve gjeometrike që ishintë përshkruara në ndonjëmënyrë tjetër. Instrumenteklasike të lejuara në ndërtimegjeometrike janë ato mebusull dhe mastar. Megjithatë,disa probleme dolen të jenëte vështira ose te pamundurapër të zgjidhur vetëm me këtomjete, per te ndertuarparabola dhe kthesa tëtjera, si dhe pajisje mekanike.Numrat në gjeometri Në Greqinë e lashtë Pythagorea njihet përrolin e numrave nëgjeometri. Megjithatë, zbulimi i gjatësisë paplotpjesëtues, e cila kundërshtoipikëpamjet e tyre filozofike, i bëri ata tëbraktisnin , numrat në favor të sasisëgjeometrike, të tilla si gjatësia dhe zona efigurave. Numrat janë riparaqitie nëgjeometri, në formëne kordinatave nga Dekarti , i cili kuptoi sestudimi i formave gjeometrike mund tëlehtësohet me përfaqësimin e tyrealgjebrike. Gjeometria Analitike aplikonmetodat e algjebrës në pyetjegjeometrike, në mënyrë tipike nga lidhje

Algjebra studion strukturat algjebrike(Grupet, Unazat, Trupat, Hapsirat vektoriale, etj.)Me ndihmën e saj bëhet zgjidhjae Ekuacioneve dhe sistemeve të Ekuacioneve.Në algjebrenlineare shqyrtohen Matricat dhe Detirminantet. Nëteorinë e Galois-it, bëhet shqyrtimi iproblemeve gjeometrike në mënyrë algjebrikeAlgjebra ishte një teori unifikuese, e cila do tëmundësonte të trajtoheshin objekte tëndryshme, si numrat racionalë, numrat irracionalëdhe madhësitë gjeometrike ndër kategoritë evetme të objekteve algjebrike. Algjebra u aplikuaedhe në teorinë euklidiane të numrave dhe nëgjeometri.

Algjebra dhe Gjeometria!

Meqe veprimet kryhen mbi objekte te cfaredonatyre, algjelbra moderne interesohet gjithnje eme teper per cilesine e veprimeve sesa perelementet mbi te cilat kryhen keto veprime, ajoperpiqet qe rregullat apo format e llogaritjeve neraste te ndryshme te mbeten te njejta. Dhe vetematematikes I eshte dashur te kerkonte neper njerruge te gjate deri sa perfundoi perfytyrimin esotem mbi veprimin algjelbrik. Algjebra ve ne perdorim simbolet, zakonishtgermat siç janë x dhe y, për te paraqitur madhësite panjohura ose te paspecifikuara ne njëproblem matematik. Algjebra mund te bëhet mekomplekse se sa aritmetika, por vepron meshumë nga te njëjtat rregulla baze. Ne algjebren, ashtu si edhe ne aritmetiken, kaekuacione, ose fjali matematike, ne te cilën cdogjë ne njërën anë te një shenjë te njëjtë duhet tejetë e barazvlefshme me cdo gjë qe është neanën tjetër te shenjes barazuese. Përshembull,ekuacioni x + 3 = 7 do të thotë kur unë ishtoj tre një numri te panjohur, unë do të kemrezultat 7. " Numri i vetëm qe mund tezevendesohet për xin qe do ta bëj këtë deshmimatematike te vërtetë është 4.

Algjebra Lineare!Algjebra lineare është dega e matematikës e cilamerret me studimin e vektorëve, hapësiravevektoriale (të cilat njihen edhe si hapësiralineare), transformimeve lineare, dhe sistemevetë ekuacioneve lineare. Hapësirat vektoriale janënjë nga temat më kryesore në matematikënmoderne; algjebra lineare përdoret shumë si nëalgjebrën abstrakte ashtu edhe në analizënfunksionale.

 Sofizma algjebrike!2=3

 Per te vertetuar kete sofizem nisemi nga ekuacioni: 2x-6=3x-4 (rrenja eshte 2)

 Shohim me kujdes shendrrimet qe do te pasojne,meqellim qe mundesisht te dallohet qe ne fillim gabimiapo gabimet qe do te behen per rrjedhoje do te sjellinparadoksin 2=3

 Nisemi nga ekuacioni: 2x-6=3x-4

 Shtojme 10 2x-6+10=3x-4+10 Ose 2x+4=3x+6

 Zbatojme vetine e perdasise2(x+2)=3(x+2)

 Pjestojme me (x+2) Ose 2=3

Statistika ështëshkenca që studionmarrjen, organizimin, analizimin dheinterpretimin endryshimevesasiore në zhvillimine shoqërisë, tëekonomisë, tëkulturës etj, dukembledhur të dhënanumërore për to, tëcilat grupohen epërpunohen me

Disa studiues e identifikojnë origjinën estatistikave në1663, me publikimin natyror dhepolitik të “Vëzhgimet mbi Ligjet e Vdekshmërisë”nga John Graunt. Aplikimet e hershme e tëmenduarit statistikor sillej rreth nevojave tështeteve në bazë të politikës në të dhënatdemografike dhe ekonomike. Shtrirja e disiplinëssë statistikave zgjerohet në fillim të shekullit të 19për të përfshirë mbledhjen dhe analizën e tëdhënave në përgjithësi. Sot, statistika përdoretgjerësisht në biznes, qeveri, dhe shkencatnatyrore dhe shoqërore.

Themelet e saj matematikore janë hedhur nëshekullin e 17 me zhvillimin e teorisë sëprobabilitetit nga Blaise Pascal dhe Pierre deFermat. Teoria e probabilitetit u ngrit nga studimi ilojërave të fatit. Metoda e shesheve të paktën upërshkrua parë nga Carl Friedrich Gauss rreth1794. Përdorimi i kompjuterëve modern kapërshpejtuar llogaritje në shkallë të gjerëstatistikore, dhe ka bërë edhe metodat emundshme të reja që janë praktike për të kryerme dorë.

Teknikat statistikore gjerësisht shfrytëzohen ngamarketingu, kontabiliteti, kontrolli i kualitetit,konsumatorët,njerëzit profesional të sportit,administrata e spitaleve, arsimtarët,politikanët,fizikanët etj.

 Burimet e të dhënave statistikore.

 -Burime primare: Janë ato të cilat krijohenpërmes vrojtimit dhe përmbledhjes së tëdhënave.

 -Burime sekonadare:Janë të dhënat qësigurohen nga burime sekondare, institucione tëautorizuara për mbledhjen e të dhënave primare(banka qendrore, shërbimi i doganave, shërbimete ndryshme komunale, raportet për afarizmin efirmave etj).

Teoria e probabilitetit është degë ematematikës e cila studion fenomenete rastësishme . Koncepte themeloretë teorisë së probabilitetitjanë ndryshorja erastësishme, proçesetstohastike dhe ngjarjet e rastësishme:Për shembull hedhja e një kubi përlojë të numëruar me pika në secilënnga gjashtë faqet e tij është njëngjarje e rastësishme. Nëse hedhja ekubit përsëritet një numër të madhherësh do të shohim se këto ngjarjedo të plotësojnë një rregullshmëri tëcaktuar statistikore të cilat mund tëstudiohen dhe të parashikohen.

Teoria e probabilitetit i ka rrënjët në analizën elojrave të fatit përpjekjet e para në këtë drejtim ikanë bërë Gerolamo Cardano në shekullin XVIpastaj Pierre de Fermat dhe Blaise Pascal nëshekullin XVII. Në fillimet e saj teoria e gjasës kryesisht kishtekarakter diskret dhe kombinatorik. Teoriamoderne e gjasës u themelua nga matematikani ishquar rus Andrey Nikolaevich Kolmogorov.Kolmogorovi e vendosi në baza të forta teorinë eprobabilitetit sepse ai formuloi një sistemaksiomash në vitin 1933.

Përkufizimet: Probabiliteti:Matja e gjasave se një ngjarje epasigurt mund të ndodhë në të ardhmen; mund tëmarrë vlera vetëm në mes të 0 dhe1.

 Prova/Eksperimenti:Vështrimi(vrojtimi) I disaaktiviteteve ose veprimi i marrjes së camatjeve, gjegjësisht një proces që shpien deri teparaqitja e një (dhe vetëm një) nga disa vrojtimetë mundshme.— Rezultati:Rezultati i pjesshëm I një eksperimenti.

 Ngjarja:Grumbullimi I një apo më shumërezultateve të një eksperimenti!

Matematika Logjike Themelues i Logjikësmatematikore konsiderohetmatematikani anglez GeorgeBoole kuptimet e para të logjikësformale i kanë dhënë grekët evjetër me përfaqësuesin kryesortë saj Aristotelin. Logjika matematikore lindi nga nevoja eeliminimit të kundërthënieve dheparadokseve që u paraqitën nëteorinë e bashkësive poashtu ajoka luajtur një rol të veçantë nëlindjen e disa lëmive të reja tëmatematikës bashkohore. Kjodegë përsosi simbolet e deriatëhershme dhe e plotësoi me

Ligjet e logjikes matematikore(tautologjitë) ligji i kontrapozicionit ligji i përjashtimit të së tretëssilogjizmi hipotetik ligjet e De Morganit

 Matematika në natyrë

 Gjashtëkëndëshi në hojet e mjaltit është e bërënga dylli i prodhuar nga bletët punëtore.Gjashtëkëndëshat përshtaten së bashku për tëmbushur të gjithë hapësirën në dispozicion, dukei dhënë një strukturë të fortë pa boshllëqe.Katroret do të mbushnin hapësirën, por nuk dotë të jepnin një strukturë të ngurtë. Trekëndëshatdo të mbushnin hapësirën dhe do të ishin tëngurtë, por kjo do të vështirësonte marrjenmjaltin nga këndet e tyre.

 Thyesat në perime dhe fruta

Ne mund të presim të gjitha llojet e frutave dheperimeve në copëza: një domate e prerë nëgjysmë, një mollë në 4 pjesë apo një banane nëtetë pjesë, duhet të jemi shumë të saktë. Njëportokall mund të ketë 20 pjesë, dhe secili duhettë jetë një e 20-ta e gjithë portokallit.

 Simetria

Përqindja

Duke përdorur paratë është një mënyrë e mirë etë kuptuarit të përqindjeve. Si ka 100 pencenë1paund, një e qindta prej £ 1 është pra 1denarë, do të thotë që 1 përqind prej £ 1 është 1Pence. Nga kjo ne mund të llogarisim se 50përqind prej £ 1 është 50 denarë. Fotoja emesiperme tregon tre lloje parash britanike : Ã £5, Ã £ 10 si dhe një 20 £ . Nëse 50 Pence është50 përqind prej £ 1, atëherë £ 5 është 50 përqindprej £ 10, £ 10 dhe kështu është 50 përqind prej £20.

 Të punosh në shtëpi

Të gjithë e dimë se shtëpia sado e vogël të jetëka shumë punë për të bërë: ne kuzhinë, nëkopësht, në mobilim, në lyerje etj. Përbërësit e një recete duhen të jenë të sakta nësasi që ushqimi të dalë aq i bukur në pamje apoedhe aq i shijshëm në shije sa c’duket në figurë. Kur mbjellim një bimë në kopësht, apo një lule nëoborr duhet te dimë sasinë e e uji apo të kimikatittë cilin do ia hedhim. Kur vendosim të blejmë një tapet të ri, një perdetë re, duhet me patjetër të dimë përmasat se sahapësirë ata do të zënë. Gjithashtu edhe kur lyejmë duhet të llogarisim sesa kovë bojë do të na duhet për të lyer dhomën.

Matematika dhe inxhinieri a

Nqs jashtë është një ditë me shi dhe ftohtë, tëgjithë ne rrimë brenda në shtëpi duke parëprograme televizive, me një filxhan caji në dorë.Por është dikush që e ka ndërtuar këtë shtëpi kuti ndodhesh, dhe ka bërë të mundur që ajo tëmbajë ty ngrohtë, ky ka qenë një inxhinier.Inxhinierët janë të përgjegjshëm për cdo ndërtesëqë gjendet rreth nesh, në mbarë botën, që ngaqiellgërvishtësit, stadiumet e futbollit, tunelet etj.Matematika është e përfshirë në gjithcka që njëinxhinier bën, sa kohë i duhet konkretisht tëndërtojë një urë, sa është sasia e materialeve qëduhen, etj.

Matematika në mjekësi Matematikandihmon nëzbulimin emekanikave tëndryshme qëndihmojnë nëzbulimin dhekurimin esëmundjeve tëndryshme.

Euklidi (Euklidi i Aleksandrisë/ gr. Εὐκλείδης rreth 365 –275 p.e.s.) është themelues imetodës aksiomatike nëgjeometri. Ai të gjithanjohuritë gjeometrike poredhe matematike të kohës sëvet i përmblodhi dhe isistematizoi në 13 libra tëcillat njihen metitullin Elementet.

René Descartes Ishte filozof francez, matematikan, dheshkrimtar i cili pas rinisë së tij shkoi të jetojënë Holandë. Konsiderohet themelues ifilozofisë moderne sidomos i filozofisëperëndimore. Shkrimet e tij edhe sotstudiohen me vëmendje sidomos libri itijMeditaticione filozofike vazhdon që të jetëtekst standard në shumë universitete.Descartesi dha kontribute të çmueshme nëmatematikë Sistemi koordinativ iDescartesit i cili lejon që figurat gjeometriketë shprehen me ndihmën e ekuacionevealgjebrike prandaj ai quhet edhe babai gjeometrisë analitike. Descartesi ështëfigurë kyçe në të ashtuquajturin Revolucionshkencor.

Isaac Newton

Isaac Newton (4 janar 1643 — 31mars 1727)ishte fizikan, astronom, filozof, teologdhe matematikan i shquarngaBritania e Madhe. Isak Njutoni sëbashkume Gaussin dhe Arkimedin bëjnëpjesë në të ashtuquajturën "treshe tëartë" të matematikës. Ai ka formuluartri ligjet kryesore të mekanikës:• Ligjin e inercisë ligjin veprimit dhe kundërveprimit  Ligjin e forcës

Pythagoras of Samos lindi afërsisht në vitin 592p.e.s. dhe vdiq 486 p.e.s., ishtematematikan dhe filozof grek.Pitagora është shumë i njohurme teoremëm e tij nëmatematikë, e cila njihet si"Teorema e Pitagorës" ështëmjaft e thjeshtë por për ngarëndësia është ejashtzakonshme dhe mësohetqë në shkollën fillore.

 Përfundime:

 Mësuam se matematika ka pasur një rrugë tëgjatë zhvillimi dhe se ka ecur nëpër disa faza tëcaktuara. Kuptuam lidhjen e ngushtë të zhvillimitekonomik në zhvillimin e shkencës sëmatematikës. Pamë se matematika kishte një roltë rëndësishëm në zhvillimin e shoqërisënjerëzore.

 Referencat: Fred Rickeys History of Mathematics Page History of mathematics at the Open Directory Project Links to ëeb Sites on the History of Mathematics (The BritishSociety for the History of Mathematics) Mathematical ëords: Origins and Sources (JohnAldrich, University of Southampton) Discusses the origins ofthe modern mathematical ëord stock. Maier, Annaliese (1982), At the Threshold of Exact Science:Selected ëritings of Annaliese Maier on Late Medieval NaturalPhilosophy, edited by Steven Sargent, Philadelphia: Universityof Pennsylvania Press. Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History ofMathematics. Neë York: Random House.

1.     

Detyra Plote